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欧几里德算法求解最大公约数
阅读量:6191 次
发布时间:2019-06-21

本文共 1636 字,大约阅读时间需要 5 分钟。

1、欧几里德算法(辗转相除法)

最大公约数

greatest common divisor,简写为gcd;或highestcommon factor,简写为hcf
最小公倍数
最小公倍数(Least Common Multiple,缩写L.C.M.)

最小公倍数=两数的乘积/最大公约数

欧几里德算法(辗转相除法)

1. 欧几里德算法和扩展欧几里德算法
1). 欧几里德算法
欧几里德算法又称辗转相除法, 用于计算两个整数a, b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理:

定理: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)

证明:

a可以表示成a = kb + r, 则r = a mod b
假设d是a, b的一个公约数, 则有 d|a, d|b, 而r = a - kb, 因此d|r。
因此,d是(b, a mod b)的公约数。
加上d是(b,a mod b)的公约数,则d|b, d|r, 但是a = kb + r,因此d也是(a, b)的公约数。
因此,(a, b) 和(a, a mod b)的公约数是一样的,其最大公约数也必然相等,得证。

public long gcd(int x,int y) {      int temp;      while(y!=0) { //base case :          temp=x%y;          x=y;          y=temp;      } //end while      return x;  } //end gcd()

2、Stein算法

欧几里德算法是计算两个数最大公约数的传统算法,无论是理论,还是从效率上都是很好的。但是他有一个致命的缺陷,这个缺陷只有在很大的素数时才会显现出来。

考虑现在的硬件平台,一般整数最多也就是64位, 对于这样的整数,计算两个数值就的模很简单的。对于字长为32位的平台,计算两个不超过32位的整数的模,只需要一个指令周期,而计算64位以下的整数模,也不过几个周期而已。但是对于更大的素数,这样的计算过程就不得不由用户来设计,为了计算两个超过64位的整数的模,用户也许不得不采用类似于多位除法手算过程中的试商法,这个过程不但复杂,而且消耗了很多CPU时间。对于现代密码算法,要求计算128位以上的素数的情况比比皆是,设计这样的程序迫切希望能够抛弃除法和取模。
Stein算法由J.Stein 1961年提出,这个方法也是计算两个数的最大公约数。和欧几里德算法不同的是,Stein算法只有整数的移位和加减法,这对于程序设计者是一个福音。
为了说明Stein算法的正确性,首先必须注意到以下结论:
gcd(a, a) = a, 也就是一个数和他自己的公约数是其自身。
gcd(ka, kb) = k * gcd(a, b),也就是最大公约数运算和倍乘运算可以交换,特殊的,当k=2时,说明两个偶数的最大公约数比如能被2整除。
Stein算法的python实现如下:

def gcd_Stein(a, b):          if a < b:          a, b = b, a      if (0 == b):          return a      if a % 2 == 0 and b % 2 == 0:          return 2 * gcd_Stein(a/2, b/2)      if a % 2 == 0:          return gcd_Stein(a / 2, b)      if b % 2 == 0:          return gcd_Stein(a, b / 2)      return gcd_Stein((a + b) / 2, (a - b) / 2)

转载于:https://www.cnblogs.com/CarryPotMan/p/5343683.html

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